Detta är ett lite annorlunda inlägg. De flesta inlägg jag har är ju ämnade för att underlätta arbetet för
matematikläraren, men med detta inlägg vill jag väcka tankar. Jag hoppas på att läsaren skall fundera
på sitt eget sätt att introducera multiplikation och analysera om hen använder metoder som kan
försvåra elevens förståelse för begreppet multiplikation.
För många år sedan då mitt äldsta barn visade sitt matematikprov åt mig stötte jag på problemet med
multiplikation i lågstadiet för första gången. Frågan i provet var i stil med: "Anna springer fyra varv runt
sportplanen som är 400m lång. Hur långt springer Anna?" Min dotter hade skrivit 400m*4=1600m och
inte fått fulla poäng. Några år senare gjorde även min son exakt samma "fel", kanske även på just
samma uppgift. Mig skulle det aldrig falla in att ta fel för något sådant. Detta har hänt flera gånger,
mina barn och andras barn. Och det har fått mig att fundera. Fundera över hur vi introducerar
multiplikation i årskurs 2.
Vilken uppfattning har eleverna om multiplikation och vad händer med intresset för matematik då
korrekta uppställningar bedöms som felaktiga? Forskning visar att elevers intresse för matematik
sjunker i Finland redan vid årskurs 3. Kan detta vara en bidragande orsak? Vilka problem medför
introduktionen av multiplikation som upprepad addition då man i åk 7 räknar med negativa tal?
Då man räknar med bråk? Procent? Skapar vi omedvetet matematikångest? Hämmar vi det
matematiskt logiska tänkandet istället för att uppmuntra det?
Innan mina barn kom i multiplikationsåldern hade jag inte reflekterat över att det skulle finnas en
skillnad i betydelsen av 4*3 och 3*4 (kollar man wikipedia står det 4*3=3+3+3+3=4+4+4=12!!).
På en fortbildningskurs för några månader sedan hade vi en väldigt givande diskussion om just detta.
Efteråt bestämde jag mig för att kolla upp om det finns någon grund till mina tankar och om någon annan
har funderat i samma banor. Till min lättnad märkte jag att jag inte är ensam. Det här är ett långt inlägg,
men jag hoppas att du tar dig tid att läsa dessa citat ur artiklarna jag har läst:
Den sämsta modellen för multiplikation sedan 1786:
"Upprepad addition är en vanlig modell för multiplikation. Det är den modell som sedan 1786 sämst klarat sin uppgift."
"Vi menar att multiplikation och dess egenskaper missrepresenteras med modellen upprepad addition. Multiplikationen som fenomen och dess egenskaper behandlas lättvindligt med tanke på hur stor del av den obligatoriska skolans matematik som faktiskt handlar om multiplikativa strukturer och proportionella resonemang. Vi ska argumentera för att vi borde sluta upp med det här."
"Mängden forskning som påvisar problem med "multiplikation som upprepad addition" är omfattande."
"...visas att den additionsbaserade modellen leder till problem för elevens uppfattning om multiplikation som begrepp och dess egenskaper."
"Upprepad addition är en så starkt förankrad modell i våra läromedel att de flesta inte ens kan tänka sig ett alternativ."
"Om man tvingade eleverna att förstå addition som upprepad efterföljare skulle de bli matematiskt handikappade. Det är just det som händer när man lurar dem att se multiplikation som upprepad addition."
Framställningen av multiplikation påverkar taluppfattningen
"Vi menar att det är viktigt att eleverna ges möjlighet att uppfatta multiplikation på de fyra sätt som Greer beskriver..." (lika grupper, multiplikativ jämförelse, kartesisk produkt, rektangulär area) "Det är också viktigt att eleverna förstår att dessa situationer kan uttryckas med en och samma
numeriska operation, trots att de har olika ursprung och innebörd. En sådan
förståelse innebär att eleverna kan lyfta ut den numeriska operationen ur sin
situation för att använda ett annat tillvägagångssätt för att lösa operationen."
"Det finns också studier som
visar att barn som använder sig av upprepad addition för att lösa multiplikationsproblem inte använder sig av den kommutativa lagen i lika stor
utsträckning som barn som löser uppgiften med multiplikation. Samma studier
visar att upprepad addition till och med kan hindra eleverna från att upptäcka
och använda kommutativiteten."
"McIntosh (2009) framhåller att den endimensionella synen på multiplikation är fullt riktig men att den utan den tvådimensionella synen ger eleverna
begränsade möjligheter till förståelse av multiplikation. Den tvådimensionella
synen är också viktig för att eleverna på sikt ska kunna generalisera multiplikation från heltal till rationella tal."
"Talföljdsräkning förtydligar dock inte de många samband som finns mellan grupper av multiplikationskombinationer och som vi bör utnyttja för att
ge eleverna möjlighet att förstå och lära sig multiplikation. Eftersom talföljdsräkning endast skildrar multiplikation som upprepad addition döljer den de
kommutativa, distributiva och associativa egenskaperna hos multiplikation.
Elever som enbart utför multiplikation som upprepad addition saknar därför strategier att hantera multiplikationer, vilket i sin tur kan leda till svårigheter
att multiplicera större tal."
Multiplikationsundervisning
"Äggkartongen är en modell av multiplikation som rektangelformation som tydliggör kommutativa lagen. Det är samma antal ägg i kartongen även om vi vrider den 90°. Detta kan även yngre elever se och uppleva. Lika grupper som bullpåsarna ger däremot inte en lika tydlig bild av den kommutativa lagen. Man kan inte enkelt uppfatta att det är lika många bullar totalt i fyra påsar med tolv bullar som i tolv påsar med fyra bullar. Att inse att multiplikation är kommutativt oavsett hur stora talen är är inte svårt för elever när de accepterar rektangelformationer som multiplikation. Denna insikt bidrar dessutom till att det är lättare lära sig alla kombinationer i multiplikationstabellerna utantill, då antalet kombinationer närapå halveras."
"I engelskspråklig litteratur skriver man om learning trajectories, då man beskriver vägar genom matematiken som många elever visar sig följa då de utvecklar sitt kunnande. Man använder även uttrycket för att beskriva en tänkt inlärningsgång av ett område. Ett exempel på en lärostig för multiplikation är att börja med vardagliga föremål, exempelvis spelkulor eller leksaksbilar, som placeras i lika stora grupper, t ex i påsar eller lådor. Senare övergår man till laborativa material, exempelvis multilinkklossar, som får representera de vardagliga föremålen. Multilinkklossar kan sättas samman i ”torn”, vilket gör det möjligt att uppmärksamma att ett torn samtidigt symboliserar ett torn och flera klossar. Vardagliga föremål och laborativa material kan placeras i rektangelformationer. Då föremålen placeras så är de fortfarande synliga och det går att räkna dem. Rektangelformationer med konkreta föremål är en viktig länk för att utvidga multiplikation från att tidigare endast ha handlat om lika grupper till att närma sig multiplikation som rektangulär area. I rektangelformationen finns de lika grupperna kvar om vi väljer att se på föremålen radvis. I en äggkartong med 15 ägg är det 3 rader med 5 ägg i varje rad, elever kan se de lika grupperna om 5 ägg. Finessen med att lägga dessa ägg, andra vardagliga föremål eller laborativt material som en rektangelformation är att det också är möjligt att se lika grupper i kolumnerna. Då syns det tydligt att vilken som helst av faktorerna kan vara multiplikator, att kommutativa lagen gäller. Successivt kan dessa rektangelformationer övergå i rutnät likt rutorna i en chokladkaka eller kakelplattorna på en badrumsvägg. Rutorna kan man så småningom ta bort och övergå till att enbart mäta kanterna på den rektangel som man har format av sina tänkta rutor."
Att konkretisera och förstå multiplikationstabellen
Även detta en intressant artikel!
Det finns inget enkelt sätt att lösa detta problem. Jag tror att det viktigaste är att använda så mångsidiga
modeller som möjligt för att inte hämma eleverna från att utveckla sin förmåga att förstå multiplikation.
Kanske kan vi börja acceptera både uttrycket 3*4 som 4*3 för att symbolisera min bild i början? Om vi
pratar matematik med eleverna så får vi fast om de tänker “fel”. (Dvs om eleven säger “jag har tre bollar
i en hög och det finns fyra högar, så för att räkna hur många bollar jag har tar jag 3*4=12”, ja, då har ju
eleven tänkt rätt och har dessutom den kommutativa lagen på koll.)
Avslutar med ett citat av Ola Helenius:
"Om ni fortfarande tror att det är en bra idé, så finns det gott om andra forskare som är redo att
medelst sina forskningsresultat övertyga er om motsatsen. Så för de som fortfarande planerar
att föra eleverna bakom ljuset någon gång runt Halloween i årskurs 2 rekommenderar vi läsning av:
Dooren et. al, 2010; Greer, 1994; Nesher, 1988; Nunes & Bryant, 1996; Piaget, Grize, Szeminska, & Bangh,
1977; Squire, Davies, & Bryant, 2004; Vamvakoussi et. al 2013. För att bara nämna några."
