Förbytta bråkbitar

I år valde jag att göra väldigt mycket laborativt i samband med bråkberäkningar med årskurs 7. En hel del material finns från tidigare, men några nya uppgifter skapade jag, bland annat "förbytta bråkbitar". Den här övningen tränar att förlänga och förkorta bråk. 

Varje par/grupp har en uppsättning med bråkbitar och varje elev har ett eget övningspapper. Först plockar eleverna fram det antal bitar som står på pappret och skriver bitarna som ett bråk. Sedan ska de fundera vilka bitar ska de byta ut till (som är lika mycket) så att det blir så få bitar som möjligt. Då de kommit på detta skriver de förkortningen i rutan och ritar bitarna. Förlängningen görs på motsvarande sätt, men tvärtom. I rutan står med vad bråket ska förlängas med.

Material: Bråkbitar, övningspapper
Tidsåtgång: 20 min

Detta är läsårets sista inlägg! Ha ett skönt sommarlov!!

Var e variabeluttrycket?

Denna övning passar bra att ta då eleverna ska öva att skriva variabeluttryck. Hur dina uttryck ser ut beror på hurdant material du har till förfogande. Jag valde att skapa fem påsar och fyra kort. Dessa kort och påsar skulle eleverna sedan para ihop med de rätta uttrycket. Uppgiften var till en början utmanande eftersom "uppgiftskorten" och "uttryckskorten" såg ganska likadana ut, detta på flit för att uppmuntra eleverna till att tänka till. Jag valde medvetet liknande uppgifter (återkommande variabel) för att uppgiften inte skulle vara för enkel. Detta var mina uttryck:

Och detta mina "uppgiftskort":

Dessutom hade jag i små minigrip-påsar 2 st X (magneter som jag hittat på loppis), 5 st bönor, 6 st blåa kuber och 2 st vita kuber, 2 röda korkar och 4 vita. 

Material: låt fantasin flöda och placera vad du hittar i små påsar, mina lappar
Tidsåtgång: 10 min

Enhetsestimering

Den här veckan har niorna haft uppgiften "Enhetsestimering" som inledning på avsnittet "Rymdgeometri". (Jag var ganska säker på att jag bloggat om övningen tidigare, men insåg att jag endast har en förenklad version av den, så här kommer den mera utvecklade versionen. 

Övningen går ut på följande:

Trots att jag i början poängterar att de ska välja det material för varje mått som är lämpligast så är det under hälften av grupperna som väljer spagetti till längd, papper till area och modellera till volym. Eftersom jag brukar göra uppgiften som en paruppgift är det väldigt givande att lyssna på elevernas resonemang om hur mycket de olika måtten är. Väldigt informativt för läraren!

Då de flesta elever är klara brukar jag kontrollmäta med linjal och kryddmått och ml-mått vilket par som är närmast. Det par som lyckats estimera bäst brukar få positiv feedback i wilma. Då eleverna är klara och väntar på de övriga paren brukar de få "leka" med modelleran. Även niorna tycker att det är roligt med modellera! (Konstaterade idag att modelleran är redan sju år gammal och fortfarande riktigt mjuk! Bra märke!)

Material: spagetti, papper, modellera, sax (sedan för läraren linjal, kryddmått och teskedsmått)

Tidsåtgång: 25 min

Klipp ett bråk

Här kommer en otroligt bra laborativ övning som min resurskollega Sonja har gjort med sina femmor på Iniö. 

Behovet av denna övning uppstod för henne då hon insåg att, trots att uppgifterna med bråkkakor gått bra, så klarade eleverna inte av motsvarande uppgifter med tallinjen. Sonja kollade bakåt i tidigare matteböcker och märkte att där bara fanns tallinjer med luckor där eleven ska fylla i bråket och alla andra bråk redan var utskrivna. Hon insåg att eleverna inte lärt sig av dessa övningar utan bara fyllt i enligt mönster utan att förstå. 

Förberedelse: Klipp tunna remsor (ca 1 cm) av färgat papper. Längden på en remsa är 1. 

Eleverna behöver sax och linjal. 

Instruktioner:

Ge eleverna en remsa. Säg: "Ge mig halva remsan."

Rita motsvarande tallinje på tavlan efter att de klarat uppgiften.

Ge en ny remsa. Säg: "Ge mig en fjärdedel av remsan." (En del kommer på att de kan vika, för andra är det en stor aha-upplevelse. Sonja instruerade att vika två gånger och sa sedan: räkna efter hur många bitar blev det?)

Rita sedan motsvarande tallinje på tavlan. Uppmärksamma att 2/4 och 1/2 är lika mycket, vilket de kan kolla med sina lappar. 

Ge en ny remsa. Säg. "Ge mig en femtedel av remsan."

Nu måste de mäta med linjalen, för det går inte att vika. Sonja behövde hjälpa mina elever genom att skriva 20 cm/5 på tavlan. 

"Vilken bit är större, 1/4 eller 1/5?"

O.s.v. 

Detta kan sedan utvecklas till att låta eleverna göra åttondelar och tiondelar  

Sedan får eleverna hela remsor som de inte ska klippa, att kombinera med de redan klippta. 

"Lägg 1 1/2". 

Rita vidare på tavlan så de ser att tallinjen fortsätter.

"Lägg 1 3/5"

o.s.v. 

Efter detta var det mycket lättare för Sonja att få dem att förstå hur de skulle fylla i omarkerade tallinjer indelade i bråk. Hon kunde täcka över tallinjen >1 och säga "här har du din oklippta remsa. Hur många bitar har den blivit klippt i?" och på det viset få dem att sakta börja förstå hur man placerar ut bråk på tallinjen. 

Sonja upplevde att det här var mycket effektivare än att använda cuisenare-stavar, då eleverna faktiskt konkret delade en hel i delar. Denna övning går även att använda med yngre elever än årskurs 5. 

Tack igen Sonja för att du delar med dig!

Material: Pappersremsor, sax, linjal

Tidstgång: 45 min

4 svarta burkar

Detta är en övning i att lösa textuppgifter med hjälp av ekvationer. Egentligen behövs inget material för att lösa uppgiften, men det är så mycket roligare att ha något konkret att hålla i och se på då uppgiften skall lösas. Då eleverna har kommit på lösningen får de öppna burkarna för att ta reda på om de har kommit fram till rätt lösning.

Uppgiften lyder så här:

Du får inte öppna burkarna förrän du vet hur många det finns i varje!
Antalet bönor i burk 2 är tre gånger fler än antalet i burk 1. I burk 3 finns det två bönor färre än i burk 1. Burk 4 innehåller en böna färre än antalet i burk 1 och 3 tillsammans. Antalet bönor i burkarna är totalt 30. Hur många bönor finns det i varje burk?
Material: Burkar med bönor (burkarna får inte vara genomskinliga!)
Tidsåtgång: 10 min

Glass i små lass

Rätblock av glass

                                
För flera år sedan var en kollega på en fortbildning om positiv pedagogik. På den kursen hade de fått tipset om att ha en bit choklad på en tallrik och sedan då man utfört uppgiften (t.ex. beräknat arean på tallriken) skulle man få chokladen som belöning. Så idag gjorde jag så här:

Eleverna fick i uppgift att beräkna glasspaketets volym. (En elev ropade genast "En liter!" varpå jag svarade att "Är du helt säker?") Varje elev skulle skriva tydliga och korrekta beteckningar i sitt häfte hur de hade beräknat volymen. Sedan jämförde vi detta med en liter. Eleverna fick resultat som varierade mellan 970 ml och 990 ml och vi konstaterade att vi hellre skulle ha haft resultat mellan 1030 ml och 1010 ml. På tavlan skrev vi grundformeln för hur man beräknar volymen av cylindrar och funderade på benämningarna av längderna i ett rätblock, vad "arean av basytan" betyder samt hur man betecknar korrekt. Efter det fick de beräkna hur mycket glass varje elev får om vi delar jämnt bland alla (jag hade två en liters förpackningar) och måtten på varje glassbit. Sedan var det dags för belöningen! 

Material: Anteckningsmaterial, linjal, glassförpackningar

Tidsåtgång: 15 min

Förhastade förhållanden

Detta är en laborativ övning med förhållanden och förhållandens värde. Jag brukar göra den efter att vi gått igenom grunderna.  

Låt eleverna arbeta i par. Påminn dem om att samarbeta, kommunicera, använda rätta termer och att inte gå vidare innan båda i paret förstår. Det är väldigt lärorikt att förklara för en klasskamrat. Varje par ska ha 10 kuber av de angivna färgerna. Sedan ska de plocka fram rätt antal kuber baserat på ledtrådarna i uppgiften. I den sista uppgiften gäller det att skriva förhållandet och förhållandets värde. I synnerhet förhållandets värde kan eleverna behöva hjälp med hur de ska skriva för att göra det korrekt. 

Förutom träning angående förhållanden är detta en otroligt bra övning i läsförståelse. 

Material: Kuber, uppgiftspapper
Tidsåtgång: 25 min

Minus minus blir plus - varför?

I våras på Matematikbiennalen var jag på en workshop om hur man kan konkretisera teckenreglerna vid addition och subtraktion av negativa tal. I år bestämde jag mig för att pröva deras metod (workshopen hölls av Alexandra Andersson och Petra Gustafsson från Helsingborg). Så här gjorde jag:

1. Vi tittade tillsammans på första delen av presentationen, addition. (Här förklarar jag överenskommelserna.) 

2. Varje elev fick ett uppgiftspapper (övningspapper 1 med addition av kuber) och en uppsättning med röda och blåa kuber. Eleverna gjorde uppgifterna ensamma i egen takt. Förklaring till hur övningspappret ska fyllas i. 

3. Efter att eleverna gjort klart pappret gick vi igenom det. Här förklarar jag hur vi gjorde det. Sedan gjorde de ett uppgifter i boken som handlade om addition av negativa tal.

    Nu borde eleverna ha koll på +(+ ) = + och +(- ) = -

4. Vi tittade tillsammans på andra halvan av presentationen, subtraktion. 

5. Varje elev fick ett uppgiftspapper (övningspapper 2 med subtraktion av kuber) och en uppsättning med röda och blåa kuber. Eleverna gjorde uppgifterna ensamma i egen takt. Förklaring till hur övningspappret ska fyllas i.

6. Efter att eleverna gjort klart pappret gick vi igenom det. Här förklarar jag hur vi gjorde det. Sedan gjorde de ett uppgifter i boken som handlade om subtraktion av negativa tal.

     Nu borde eleverna ha koll på -(+ ) = - och -(- ) = +

Det var förvånansvärt svårt för eleverna att för det första fylla i pappret rätt, men också att "våga" lägga till nollor då det behövdes. Jag tror dock att detta konkreta material kan underlätta i framtiden då jag kan använda det som hjälp vid förklaringar då eleverna kommer till fel resultat. Dessutom blir konkretiseringarna av ekvationer (sedan då vi kommer till dem på våren) mycket rikare då vi också kan använda oss av negativa tal. 

Material: presentationen, uppgiftspapper, blåa och röda kuber, färgpennor
Tidsåtgång: Fyra lektioner á 45 min

Ekvationer med kuber

I många år har jag introducerat ekvationer genom att använda tändsticksaskar och tändstickor. (Se tidigare inlägg Tändsticksproblem.) I år testade jag på att använda kuber istället för tändstickor.
 

Kuberna är mångsidigare eftersom de även kan representera negativa tal (en röd kub = + 1, en blå kub = - 1 och en röd och en blå kub tillsammans är = 0). Eleverna övade först parvis i några lektioner med att lösa kubuppgifter. Först löste de några som jag gav åt dem, sedan skapade de sina egna uppgifter och till sist fanns det även uppgiftskort att välja bland. (Uppgiftskorten: gul = basnivå, grön = mellannivå, blå = fördjupad nivå.) Sedan då eleverna började förstå grundprinciperna hur de ska komma på hur många kuber som fanns i en ask övergick vi till symbolspråk och eleverna blev introducerade till tankeväggen. Jag upplever att kuberna fungerade bättre som introduktion är stickorna, så detta kommer jag att göra även i fortsättningen. 

Tidsåtgång: ca 3 lektioner
Material: Kuber, tändsticksaskar, instruktioner, lösningspapper, uppgiftskort

Area och volym

Konkretisering av volymer

Eleverna i årskurs 9 har i nästan fem veckor jobbat med rymdgeometri och igår var det dags för prov. Efter att jag sett resultatet känner jag mig väldigt ... ja matt. I tre års tid har vi vid olika tillfällen jobbat med begreppen sträcka, area och volym. Vi har gjort flera olika konkreta övningar och ändå! Att veta skillnaden mellan area och volym. Att klara av att beräkna arean på en triangel. Hur kan det fortfarande vara så svårt?! Jag har i fem veckor konstant haft material i min hand på lektionerna för att visa olika kroppar, visa begränsningsareor och ändå så "ser" inte eleverna vad olika kroppar består av. Hur ska vi råda bot på detta? Var går det fel?! 

Måste ändå tillägga att flera elever har visat riktigt goda kunskaper i rymdgeometri och ytterst glädjande var att många elever kunde avgöra om svaren var rimliga. Enhetsomvandlingarna gick också otroligt bra. Det tror jag att är tack vare modellerna på olika areor och volymer som jag har haft i klassrummet de senaste fem veckorna. Då har eleverna kunnat se en kvadratmeter, en kvadratdecimeter, en kvadratcentimeter och en kubikmeter, en kubikdecimeter (=en liter), en kubikcentimeter och en milliliter. Det var trångt i klassrummet dessa veckor, men det var det värt!! 

Några olika övningar vi har gjort för att träna på längd, area och volym:

Enhetliga enheter (längd, area)

Färglägga areor 

Problematisk papptallrik (area)

Cillas rastgård (omkrets, area, kvadratrot)

12 kvadrater (omkrets, area)

Geobräde 1 (omkrets, area)

Geobräde 2 (triangelns area)

Spontan rätblocksuppgift (omkrets, area)

Produktivt papper (omkrets, area)

Rätblock med centikuber (volym)

Modellera volymer (volym)

... med mera.

Har du bra tips vad jag ytterligare kunde göra, tar jag gärna emot!!

ProcentRace

Detta är ett spel som tränar att beräkna (i huvudet eller med hjälp av laborativt material) en procentuell andel av något, i detta fal en stav.

Eleverna spelar i par. De har en uppsättning spelkort, med "stavsidan" uppåt och en låda med stavar. Den som har födelsedag till näst får börja. En speltur börjar med att man säger högt vilkendera stav som finns på kortet man väljer. Detta måste sägas högt så att man inte fuskar. Efter att man valt, svänger man på kortet och beräknar vad som står på andra sidan. Står det t.ex. + 30%, får man ta 30% av den stav man valde och lägga till på den stavlänga man bygger. Om man t.ex. får - 100% så tar man bort 100% av den stav man valde från sin stavlänga. Detta kan leda till att stavlängan är "på minus". För att göra detta tydligare för eleverna kan de spela med två pulpeter ihop. Skarven mellan pulpeterna symboliserar noll, så om stavlängan är på högra sidan är den "på plus" och om den går till vänster om skarven är den "på minus". Sedan är det nästa spelares tur. Den i paret som har den längsta stavlängan då spelet är slut (=korten slut eller lektionen slut) den vinner. 

Eftersom det finns ett begränsat antal av vissa färger i stavlådan tränar eleverna även logiskt tänkande i hur de kan byta stavar för att det ska fungera med de stavar de har. Jag har spelat detta flera gånger och det fungerar bra med bara en låda per par. Kortens förhållande mellan  pluskort och minuskort är ungefär 3:1. I kopieringsunderlaget finns en färgad linje för att visa vilka kort som hör ihop. Totalt 10 uppsättningar. Jag klippte ut "remsorna", vek längs med den streckade linjen och sedan laminerade jag dem. Korten håller bäst i användning om de lamineras enskilt. 

Material: Spelkort, cuisenairestavar
Tidsåtgång: 20min

Variabelarmband

KUUMAA = 2a + k + m + 2u

Vi har denna vecka introducerat 7orna till variabler. (Nja, vissa var bekanta med x i någon mån från åk 6). Jag använder gärna material för att symbolisera variabler och första uttrycket vi skrev var a + 2b med hjälp av denna bild:

a + 2b

Efter att vi gått igenom skrivreglerna för variabeluttryck och övat lite fick eleverna själva göra olika uttryck, dvs. variabelarmband. Först skapade de ett uttryck på sitt armband och sedan skrev de vilket uttryck som motsvarar armbandet. Nästa vecka ska de få skriva uttryck till de övriga klassernas armband. 

Eleverna var otroligt ivriga över denna övning och jag hoppas att det kommer att underlätta deras inlärning av hur man skriver variabeluttryck. (Pärlorna är från Adlibris)

Enhetliga enheter

Tio mått med bokstäverna A-J 
skrivet på målartejp. 

Enhetsomvandling av längder och areor är bekant för eleverna från årskurs 3-6, men ändå har väldigt många elever svårt med både omvandlingen teoretiskt och förståelsen för det praktiskt. Så denna övning var ett försök i att konkretisera uppgiften.

Eleverna jobbade i par. De fick en uppsättning med tio mått (sex snören och fyra pappersbitar) och en ifyllnadsblankett med tio mått. Måtten på blanketten var givna i mm, cm, dm, m, dam, mm², cm², dm² och m². Parets uppgift var att kombinera rätt mått från blanketten med rätt snöre eller pappersbit. Pappersbitarna hade rutor med storleken 1 cm² för att underlätta uppgiften. De fick även ett måttband till hjälp.

Detta var en otroligt bra uppgift både för eleverna och för mig. Väldigt informativt att lyssna på deras diskussioner. Jag tror att den här skulle passa bra som en bedömningsuppgift. Om någon testar det hör jag gärna hur det fungerar och om man har tips att dela med sig åt andra. 

Material: Uppsättning med snören och pappersbitar, ifyllnadsblankett, måttband
Tidsåtgång: 20 min

Multiplikationsplattor

Multiplikationsplattor

Har du elever som inte har lärt sig tabellerna och som skriver av luntlapparna utan att tänka efter eller försöka komma själva fram till svaret? Då är här ett tips inspirerat av inlägget om multiplikation.  

Istället för att ha luntlappar, ha luntplattor. Låt varje tabell ha en egen färg och skapa pripelplattor för varje multiplikation. Se bild ovan. De blåa plattorna är 5:ans tabell, de gröna 6:ans, de gula 2:ans och de röda 8:ans. Förslagsvis: en tabell (en färg) i en påse där tabellen är skriven på påsen. 

Hur kan man skriva detta som en multiplikation?

Plattorna kan även användas för att konkretisera flerfaktorsmultiplikation och kommutativa lagen. (Åk4) Börja med att lägga fram en platta och öka sedan med flera lika. Fråga eleverna efter varje ökning, "Hur kan man skriva detta som en multiplikation"?

Min kollega Sonja Balthasar tipsar dagens inlägg. 😀

Problematisk papptallrik

Innan vi gick igenom arean för en cirkel gjorde vi en "övergångslabb" mellan omkrets och area. Första uppgiften gällde omkretsen. Halva klassen fick instruktionen att klippa ett snöre som är lika långt som omkretsen. Den andra halvan skulle däremot klippa ett snöre som var lika långt som tre diametrar. När båda halvorna var klara jämförde de längderna på sina snören med varandra. Sedan diskuterade vi upptäckten. Vad innebär detta? Varför är de inte lika långa? Denna övning var bland annat till för att än en gång få en visuell och taktil inre bild av att en omkrets är en sträcka.

Följande uppgift var att komma på papptallrikens area. De fick bara använda sig av materialet jag hade plockat fram. (se bild ovan) Jag blev rakt ut sagt chokerad över hur svårt detta var. Det var endast en av ungefär trettio elever som genast kom på hur man skall göra. De flesta par gav upp efter en minut. Var är elevernas resiliens? Vi måste definitivt öva mera på att inte ge upp, på att se problem från olika synvinklar, att säga högt vad som är knepigt för att genom diskussion kanske komma fram till en lösning och på att förenkla problem. De grupper som kom igång började räkna arean för hela (vilket tog väldigt länge) tallriken istället för att dela in den i mindre bitar och utnyttja det i sina beräkningar. 

Detta var en ögonöppnare för mig (och då tror jag ju nog att mina elever är ganska vana med laborativt material). Måste införa mera laborationer av öppnare struktur för att ge eleven bättre verktyg i fortsättningen. Jag hör gärna era läsares synpunkter på detta. Är detta ett fenomen ni stöter på också? Dela gärna med er av era erfarenheter. 

Material: papptallrik, snöre, mm²-papper, cm²-papper 
Tidsåtgång: 45min (tog såååååå mycket längre än jag hade förväntat mig!!)

Knapp ordning

Uppgifterspapper med knappar

För några dagar sedan höll jag en fortbildning i matematik för en grupp lärare i åk1-9. Inför detta tillfälle skapade jag en övning som tränar bland annat ordningstal. En enkel men lärorik övning! 

Det blev intressanta diskussioner kring uppgiften "mittersta knappen är lila". Fundera tillsammans med eleverna om man behöver sätta en knapp i varje cirkel. I vilken uppgift kan det räcka med några knappar och i vilka måste man lägga fler för att påståendet skall stämma? 

Material: Knappar, uppgiftsbotten (förstora till A3!!)
Tidsåtgång: uppskattar 25min (om någon testar detta, så berätta gärna hur länge det tog att göra hela)

Förhållande - paruppgift

I samband med att vi har gått igenom förhållande samt förhållandets värde har eleverna i par fått göra två uppgifter som sedan de övriga i klassen löser. 

Så här gjorde vi:
1. Dela in klassen i par.
2. Kom tillsammans med ditt par överens vilket material ni skall använda (jag hade plockat fram papper, centikuber, pattern blocks, tangram, snöre och knappar) för att skapa två uppgifter.
3. Placera ut materialet i "boxarna". När paret är klart går de runt i klassen och löser de andra uppgifterna. Vid varje uppgift skall man skriva förhållandet mellan "boxarna" så förenklat som möjligt samt beräkna förhållandets värde.
4. När paret var klara med alla fyllde de i facit för sina egna två uppgifter, fotade det och skickade fotot till mig. 

Material: uppgiftspapper (men går bra utan), samt vad man hittar för material i sitt klassrum, se ovan för förslag
Tidsåtgång: 30min

Likformiga trianglar

 

Den här laborativa övningen passar bra att ta i samband med att man introducerat trigonometriska funktionen tangens och då man vill visualisera likformighet för eleverna. Detta är en övning som är bra att göra parvis så att eleverna får kommunicera och tala matematik. Uppmana dem även att turvis bygger trianglarna och fylla i pappret.

Material: tändstickor/tandpetare, spagetti, uppgiftsinstruktioner, geotriangel
Tidsåtgång: 15min

Cillas rastgård

Tack Praktia för styroxen!

 I samband med kvadratrötter fick eleverna fundera på följande problem:

"Jag har 100m stängsel som jag skall göra till en rastgård åt min hund. Hurdan fyrhörning skall jag bygga så att hunden får så stor rastgård som möjligt?"

Eleverna fick först fundera själva en stund, därefter fick de material för att kontrollera vilka olika storleks rastgårdar det blev. (Poängterade att man ofta inom matematiken förenklar/gör problemen "mindre" för att kunna se vad bästa lösningen är.) Efter att de kommit till en lösning fick de snabbaste fundera om det finns någon annan form som blir större än fyrhörning. 

Material: Styrox 50*50 (=marken), snöre 1m (=staket), nålar (=grindstolpar)
Tidsåtgång: 15min

Potenskuber

Bra om kuberna har olika färg så är det lättare att referera till rätt kub. 

Låt eleverna jobba i par. Varje par skall ha en kub av varje sort, dvs med kantlängden 2cm, 3cm, 4cm, 5cm och 6cm. (Tack än en gång till slöjdläraren som förser mig med material!!) Uppgiften går ut på att komma på hur många kuber med olika antal målade sidor det blir om man skulle såga varje kub i småkuber med kantlängden 1cm. Dvs, hur många kuber blir det med 3 sidor med målfärg, hur många med 2, hur många med 1 och hur många kuber blir det som inte har målfärg alls på någon sida? 

Eleverna har ganska svårt att greppa detta, så jag använde mig av rubikskuber som hjälp för att de lättare kunde förstå vad jag menade. I princip behöver man inte ha kuberna för att utföra denna, men det är ju så mycket roligare och lättare om man får hålla kuberna i handen. Det är också bra att be dem fundera på hur många småkuber det blir av varje efter sågingen så kan de hålla koll på att summan blir rätt varje gång. Många tycker att det är ganska ofattbart att det av 6*6*6 kuben blir totalt 216 småkuber. 

Material: Uppgiftspapper, kuber
Tidsåtgång: 20min